Suites numériques

Montrer qu'une suite est arithmétique et donner sa forme explicite
Cours terminale S

Dans ce cours méthode, découvrez comment montrer qu'une suite est arithmétique. Je vous montre également comment trouver la forme explicite de cette suite arithmétique.

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Considérons la suite numérique suivante :

n ∈ N, un = (n + 2)² - n²

L'objectif de cet exercice est de montrer que un est une suite arithmétique. On donnera ensuite sa forme explicite.


Rappelons tout d'abord la définition d'une suite arithmétique.

Définition

Suite arithmétique

On appelle suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r la suite définie par :

définition d'une suite arithémtique

Calculer un+1 - un

Pour tout entier n appartenant à l'ensemble des naturels, on calcule d'abord la différence un+1 - un.

Soit n un entier naturel. Calculons :

un+1 - un = [(n + 3)² - (n + 1)²] - [(n + 2)² - n²]

un+1 - un = [n² + 6n + n² - 2n - 1] - [n² + 4n + n²]

un+1 - un = [4n + 8] - [4n + 4]

un+1 - un = 4n + 4n - 4

un+1 - un = 4

Conclure que un est arithmétique

Maintenant que l'on a fait le calcul un+1 - un et que l'on a trouvé un nombre naturel, on peut conclure quant à la nature de la suite un.

S'il existe un réel r, tel que ∀ n ∈ N, un+1 - un = r.

Donc, la suite un est une suite arithmétique.

On précise évidemment la valeur de sa raison r (le résultat de la différence calculée précédemment) et de son premier terme (en général u0).

n ∈ N, un+1 - un = 4 ∈ R.

Attention

Lorsque l'on montre que un+1 - un = r, la raison r doit être un réel qui ne dépend pas de n.

Donc, la suite un est arithmétique de raison r = 4 et de premier terme :

u0 = (0 + 2)² - 0² = 4.

Donner l'écriture explicite de un

Si un est arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors :

n ∈ N, un = u0 + nr

De façon générale, si le premier terme est up, alors :

np, un = up + (n - p)r

Comme un est arithmétique de raison r = 4 et de premier terme u0=4, alors ∀ n ∈ N, un=u0 + nr.

Ainsi, ∀ n ∈ N :

un = 4 + 4n

un = 4(n + 1)

Montrer qu'une suite est arithmétique et donner sa forme explicite : 5/5 (2 avis)
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