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Suites adjacentes
Cours terminale S

Une nouveauté cette année, les suites adjacentes. Deux suites sont adjacentes si l'une est croissante et l'autre décroissante et si... pour en savoir plus, c'est dans ce cours que ça se passe.

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Voilà une partie très intéressante sur les suites : les suites adjacentes.

Définition

Suites adjacentes

Deux suites un et vn sont adjacentes si l'une est croissante et l'autre décroissante et si :

définition suites adjacentes

Remarque

N'oubliez pas la condition avec la limite, elle signifie que les limites des deux suites sont égales.

Regardez bien le graphique suivant.

suites adjacentes


La suite vn décroît, tandis que la suite un croît. Toutes les deux tendent vers la même limite 1. Se sont des suites adjacentes.

Exemple

Les suites suivantes sont adjacentes :

exemple suites adjacentes


En effet, déterminons les variations de ces deux suites.

étude de suites adjacentes


Donc la suite un est croissante.

suites adjacentes


Donc la suite vn est décroissante.
Montrons que la limite de leur différence est nulle maintenant.



Or,



Donc, les suites un et vn sont adjacentes.

Un petit théorème très puissant à savoir et à comprendre.

Théorème

Théorèmes des suites adjacentes

Si deux suites un et vn sont adjacentes, avec un croissante et vn décroissante, alors :
  • Pour tout n, unvn,

  • Les deux suites convergent et ont la même limite L,

  • Pour tout n, unLvn.

Cela se voit très bien si ont reprend le graphique précédent. On voit bien que les suites s'écrasent vers une même limite L, que l'une reste au dessus et l'autre en dessous, et donc que l'une est toujours au dessus de l'autre.

Suites adjacentes : 4/5 (5 avis)
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