Dérivation

Etude d'une fonction polynomiale de degré 3
Correction exercice première ES

On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = x³ - 4x² + 4x.
  • Calculer la dérivée de f.

    f '(x) = 3x2 - 8x + 4


  • Etudier le signe de cette dérivée.

    Calculons, à l'aide de Δ, les racines de ce polynôme dérivé.

    Δ = 64 - 4 × 3 × 4 = 16


    D'où les racines suivantes :

    racines polynome

    Voici donc le tableau de signes.

    tableau de valeurs


  • En déduire le tableau de variation de la fonction f.

    Là où la dérivée est positive, la fonction est croissante, et là où elle est négative, la fonction est décroissante.

    tableau de variations


  • Tracer la courbe représentative de la fonction f dans l'intervalle [-1, 3].

    courbe de la fonction


  • Déterminer par calcul les coordonnées des points d'intersection de cette courbe avec l'axe des abscisses.

    Les points d'intersection de la fonction avec l'axe des abscisses sont tout simplement les points où la fonction s'annule.
    On le voit aisément sur le graphique (0 et 2), mais on nous demande par calcul, donc calculons.


    f(x) = 0 ⇔ x3 - 4x2 + 4x = 0 ⇔ x(x2 - 4x + 4) = 0 ⇔ x(x - 2)2 = 0


    Les solutions de cette équation sont : x = 0 ou x = 2.
    En remplaçant dans la fonction, on trouve que l'ordonnée des ces deux points est nulle.


Etude d'une fonction polynomiale de degré 3 - Exercices de maths première ES - Etude d'une fonction polynomiale de degré 3
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