Dérivation

Etudes complètes de fonctions
Correction exercice première ES

Etudier les fonctions suivantes.
  • f(x) = x2 + 4x - 1

    Domaine de définition : Aucune valeur interdite, donc : Df = R.

    Dérivée :

    f '(x) = 2x + 4



    Tableau de variations :

    f '(x) = 0 ⇔ 2x + 4 = 0 ⇔ x = - 2


    La dérivée s'annule pour x = -2.
    Et : f (-2) = 4 - 8 - 1 = -5.
    Ce qui nous donne le tableau de variations suivant.

    tableau de variations
    Représentation graphique :

    courbe de la fonction


  • g(x) = - x3 + 3x2 + x - 4

    Domaine de définition : Aucune valeur interdite, donc : Dg = R.

    Dérivée :

    g'(x) = - 3x2 + 6x + 1



    Tableau de variations : Trouvons les racines du polynôme dérivée de la fonction g en calculant le Δ.


    Δ = 36 - 4 × (-3) × 1 = 36 + 12 = 48


    On a : √Δ = √48 = √16 × 3 = 4√3.
    Les racines de g'(x) sont donc :

    racine de polynome


    De plus:

    calcul des racines nulles


    D'où le tableau de variations suivant :

    tableau de variations


    Représentation graphique :

    courbe représentative de la fonction


  • fonction

    Domaine de définition : On a une fraction. Qui dit fraction dit valeur interdite car le dénominateur contient l'inconnue x.
    Le dénominateur doit être différent de 0.

    x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ - 3



    Dérivée : La dérivée d'un quotient, rien de plus simple.
    On a : u = - x2 + 4x - 3 et v = x + 3.
    Donc : u' = - 2x + 4 et v' = 1.

    calcul de la dérivée d'une fonction


    Tableau de variations : Le dénominateur étant un carré, toujours positif, le signe de la dérivée est le signe du numérateur.
    Soit P(x) = - x2 - 6x + 15 le numérateur de la dérivée.
    Les racines de P sont facilement calculables.

    Δ = 36 - 4 × (-1) × 15 = 36 + 60 = 96


    On a : √Δ = √96 = √4 × 4 × 6 = 4√6.
    On a donc les deux racines de P :

    calcul des racines d'un polynôme


    Voici donc le fameux tableau de variations, très simple.

    tableau de variations


    Représentation graphique :

    courbe de fonction


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