Dérivation

Utilisation concrête de la notion de dérivée
Correction exercice première ES

Soit un rectangle dont le périmètre P est égal à 4cm.
  • Déterminer ses dimensions (Longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à fractions dérivéescm².

    On sait que le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur l est : 2(L + l) = 4, soit L + l = 2.
    De plus, l'aire de ce même rectangle est : L × l = fractions dérivées.
    On a donc un système de deux équations à deux inconnues. Résolvons - le.

    L + l = 2 ⇔ L = 2 - l


    On met tout cela dans la seconde égalité.

    L × l = fractions dérivées ⇔ (2 - l)l = fractions dérivées ⇔ 2l - l2 = fractions dérivées ⇔ l2 - 2l + fractions dérivées = 0


    Il nous suffit donc de résoudre cette équation du second degré pour déterminer l'inconnue l, puis L.
    Calculons donc le discriminant.

    Δ = 4 - 4 × 1 × fractions dérivées = 4 - 3 = 1


    D'où les racines suivantes.

    racines

    Donc :

    l = 3/2
    L = 2 - l = 2 - 3/2 = 1/2

    ou

    l = 1/2
    L = 2 - l = 2 - 1/2 = 3/2.


  • On cherche à présent les dimensions du rectangle de façon à ce que sont aire S soit maximale.
    • Exprimer S en fonction de l.

    • Soit la fonction définie sur R par f(x) = x(2 - x).
      Calculer sa dérivée et le signe de celle-ci afin de dresser le tableau de variation de cette fonction f. Puis tracer la courbe représentative de cette fonction dans l'intervalle [0,2].

    • En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4cm et l'aire S est maximale.

    • Exprimer S en fonction de l.

      D'après la formule de l'aire d'un rectangle : S = l × L = l(2 - l).

    • Soit la fonction définie sur R par f(x) = x(2 - x).
      Calculer sa dérivée et le signe de celle-ci afin de dresser le tableau de variation de cette fonction f. Puis tracer la courbe représentative de cette fonction dans l'intervalle [0, 2].

      Calculons la dérivée de cette fonction très simple f(x) = x(2 - x) = 2x - x2.

      f '(x) = 2 - 2x


      Quand cette dérivée s'annule-t-elle ?

      f '(x) = 0 ⇔ 2 - 2x = 0 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1


      Dressons donc le tableau de variations de la fonction f.

      tableau de variations

      Et voici donc le tracé de la fonction.

      courbe de la fonction


    • En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4cm et l'aire S est maximale.

      La fonction f représente en fait l'aire du rectangle. Cette aire est maximale quand la fonction f l'est, c'est à dire quand sa dérivée s'annule, soit au point de coordonnées (1; 1).
      On en conclut donc les dimensions du rectangle L = l = 1 pour que le périmètre soit égal à 4cm et l'aire maximale.
      D'ailleurs, ses dimensions se vérifient aisément.


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