Géométrie plane

Equation cartésienne d'une droite
Correction exercice première S

Dans chacun des cas suivants, déterminer si l'équation cartésienne de la droite en question.
  • La droite D passant par A(2; 1) et B(-1; 0).

    L'équation de la droite D s'écrit : y = ax + b. On va donc chercher à trouver a et b.
    On a donc le système suivant :

    équations

    Soit :
    1 = 2a + b
    0 = -a + b

    Que l'on résout aisément, en soustrayant la deuxième équation à la première pour trouver :

    a = 1
    3


    En remplaçant dans l'une des deux équation précédente, on trouve facilement b :

    b = 1
    3


    Donc, l'équation de la droite (AB) est la suivante :

    y = x + 1
    3


  • La droite D passant par A(-3; 0), de vecteur directeur (1; 3).

    L'équation de la droite D s'écrit : ax + by + c = 0. On va donc chercher à trouver a, b et c.

    Par définition, le vecteur directeur a pour coordonnées (-b; a).
    Donc :

    b = -1
    a = 3


    Il nous reste à déterminer c. Pour ce faire, nous allons utiliser justement les coordonnées du point A. On les remplace dans l'équation trouvée en remplaçant a et b par leur valeur (celles trouvées à l'instant).

    3xA - yA + c = 0

    3 × (-3) - 0 + c = 0

    -9 + c = 0

    c = 9


    Donc, l'équation de la droite D est :

    3x - y + 9 = 0


  • La droite D passant par A(6; -2), parallèles à la droite D' : x + y + 1 = 0

    L'équation de la droite D s'écrit : ax + by + c = 0. On va donc chercher à trouver a, b et c.

    Un vecteur directeur de D est (-b; a) par définition.

    Or, D est parallèles à D'.
    Donc, un vecteur directeur de D' est aussi un vecteur directeur de D.

    Comme D' : x + y + 1 = 0, un vecteur directeur de D', et donc de D (on vient de le dire), est :

    (-1; 1)


    On obtient donc l'équation D de la forme :

    x + y + c = 0


    Il nous reste à déterminer c. Pour ce faire, nous allons utiliser justement les coordonnées du point A. On les remplace dans l'équation trouvée en remplaçant a et b par leur valeur (celles trouvées à l'instant).

    xA + yA + c = 0

    6 - 2 + c = 0

    4 + c = 0

    c = -4


    Donc, l'équation de la droite D est :

    x + y - 4 = 0


Equation cartésienne d'une droite : 3/5 (1 avis)
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