On considère les points : A(3; 0), B(0; 3), C(7; 0), D(0; 7).
On appelle E le milieu du segment [AB], F le milieu du segment [DC], et G le point d'intersection des droites (AD) et (BC).
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Déterminer les équations des droites (AD) et (BC).
Equation de la droite (AD) :
La droite (AD) a une équation de la forme :
y = ax + b
Nous devons déterminer les réels a et b.
Commençons par le coefficient directeur a que l'on trouve grâce à la formule du cours :
a = yD - yA xD - xA
On a A(3; 0) et D(0, 7).
Calculons donc :
a = 7 - 0 = 7 0 - 3 -3
Donc, la droite (AD) a pour équation :
y = 7 x + b -3
De plus, le point A(3; 0), par définition, appartient à la droite (AD).
Donc, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Ainsi :
yA = 7 xA + b -3
On remplace et on trouve :
0 = 7 × 3 + b -3
0 = -7 + b
b = 7
D'où, l'équation de la droite (AB) suivante :
y = 7 x + 7 -3
Equation de la droite (BC) :
La droite (BC) a une équation de la forme :
y = ax + b
Nous devons déterminer les réels a et b.
Commençons par le coefficient directeur a que l'on trouve grâce à la formule du cours :
a = yC - yB xC - xB
On a B(0; 3) et C(7; 0).
Calculons donc :
a = 0 - 3 = -3 7 - 0 7
Donc, la droite (BC) a pour équation :
y = -3 x + b 7
De plus, le point B(0; 3), par définition, appartient à la droite (BC).
Donc, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Ainsi :
yB = -3 xB + b 7
On remplace et on trouve :
3 = -3 × 0 + b 7
b = 3
D'où, l'équation de la droite (AB) suivante :
y = -3 x + 3 7 -
En déduire les coordonnées du point G.
On sait que le point G est le point d'intersection des droites (AD) et (BC). Par conséquent, il appartient à ces deux droites.
Donc, les coordonnées de G vérifient l'équation de chacune des droites, et donc le système suivant :
y = -3 x + 3 7
y = 7 x + 7 -3
L'abscisse de G vérifient donc la relation suivante :
-3 x + 3 = 7 x + 7 7 -3
On résoud aisément cette équation pour trouver l'abscisse xG de G :
xG = 21 = 2,1 10
On remplace dans une des deux équations précédentes pour trouver l'ordonnée yG de G maintenant.
yG = -3 × 2,1 + 3 = 2,1 7
Donc, les coordonnées du points G sont : G(2,1; 2,1). -
Calculer les coordonnées des points E et F.
Coordonnées du point E :
On sait que E est le milieu du segment [AB]. On calcule ses coordonnées grâce à la formule du cours :
xE = xA + xB = 3 + 0 = 3 = 1,5 2 2 2
yE = yA + yB = 0 + 3 = 3 = 1,5 2 2 2
Donc, le point E a pour coordonnées : E(1,5; 1,5).
Coordonnées du point F :
On fait pareil pour déterminer les coordonnées du point F, milieu du segment [CD].
xF = xC + xD = 7 + 0 = 7 = 3,5 2 2 2
yF = yC + yD = 0 + 7 = 3 = 3,5 2 2 2
Donc, le point F a pour coordonnées : F(3,5; 3,5). -
Conclure que les points O, E, G et F sont alignés.
Observons un petit instant les coordonnées des points E(1,5; 1,5), F(3,5; 3,5) et G(2,1; 2,1)...
Que remarque-t-on ?
Eh bien que l'abscisse et l'ordonnée respectives de chacun sont égales.
De même pour le point O, origine du repère, dont les coordonnées sont O(0; 0).
Les coordonnées de ces quatre points vérifient donc l'équation :
y = x
Ils appartiennent donc tous à cette droite d'équation.
Conclusion : Les points O, E, G et F sont alignés.