Dérivation

Déterminer le signe d'une fonction à partir de son tableau de variations
Cours première S

Dans ce cours méthode, découvrez comment déterminer graphiquement la valeur de f'(a), étape par étape, en énonçant d'abord le cours, puis en calculant le coefficient directeur de la tangente.

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Méthode 1 : Lorsque la fonction admet un maximum négatif

On considère le tableau de variations suivant d'une fonction f définie sur R :

Déterminer le signe d'une fonction à partir de son tableau de variations lorsque la fonction admet un maximum négatif

L'objectif de cet exercice est de déterminer le signe de f sur R en utilisant son tableau de variations.

Repérer le maximum de la fonction

Identifions dans un premier temps le maximum de la fonction f en utilisant son tableau de variations.

Rapidement, on trouve que le maximum sur R de la fonction f est -4.

Énoncer le cours sur le maximum d'une fonction

Toujours rappeler le cours avant de commencer : si une fonction f admet un maximum négatif sur son intervalle de définition I alors cette fonction est négative sur I.

Le maximum sur R de la fonction f est négatif car il vaut -4, comme dit précédemment.

Or, une fonction admettant un maximum négatif sur son intervalle de définition I est négative sur I.

Conclure

On conclut que f est négative sur R.

Méthode 2 : Lorsque la fonction admet un minimum positif

Une fonction admettant un minimum positif sur un intervalle I est positive sur I.

On considère le tableau de variations suivant d'une fonction f définie sur R :

Déterminer le signe d'une fonction à partir de son tableau de variations lorsque la fonction admet un minimum positif

L'objectif de cet exercice sera de déterminer le signe de f sur R à partir de son tableau de variations.

Repérer le minimum de la fonction

Identifions dans un premier temps le minimum de la fonction f à partir de son tableau de variations.

Rapidement, on trouve que le minimum de la fonction f est 1.

Énoncer le cours sur le minimum d'une fonction

Encore une fois, avant tout, on rappelle le cours. Si une fonction f admet un minimum positif sur son intervalle de définition I alors cette fonction est positive sur I.

Le minimum sur R de la fonction f est égal à 1, il est donc positif.

Or, une fonction admettant un minimum positif sur son intervalle de définition I est positive sur I.

Conclure

On conclut que f est positive sur R.

Méthode 3 : Dans les autres cas

Grâce au tableau de variations et aux informations qu'il contient sur la fonction f, il est possible de déterminer le signe de cette fonction si l'on connaît les réels pour lesquels la fonction s'annule. C'est le cas dans l'exemple ci-dessous.

On considère le tableau de variations suivant d'une fonction f définie sur R :

Déterminer le signe d'une fonction à partir de son tableau de variations

On précise que f(4) = 0.

L'objectif de cet exercice est toujours de déterminer le signe de f sur R à partir de son tableau de variations.

Repérer les limites et extremums locaux dans le tableau de variations

On identifie les limites de la fonction et ses extremums locaux. Les extremums sont le maximum et le minimum de la fonction.

D'après le tableau de variations de la fonction f ci-dessous :

  • limx?-∞f(x) = -10
  • limx?+∞f(x) = 10
  • f(-5) = -2
  • f(2) = -5

Repérer les points où la fonction change de signe

Identifions à présent les abscisses des points de changement de signe. On les nomme si besoin (x1, x2, etc.)

D'après l'énoncé, f(4) = 0, ce qui signifie que la fonction f change de signe au point d'abscisse 4.

Dresser un tableau de variations faisant apparaître les "0"

On complète le tableau de variations en y renseignant les points pour lesquels la fonction s'annule, comme ceci :

Déterminer le signe d'une fonction à partir de son tableau de variations

Conclure sur le signe de la fonction

À l'aide du tableau de variations complété, on peut facilement conclure sur le signe de la fonction f.

En effet, d'après le tableau de variations de la fonction f, on a :

  • x ∈ ]-∞; 4[, f(x) < 0
  • x ∈ ]4; +∞[, f(x) > 0

Du coup, on obtient le signe de f(x) suivant les valeurs de x que l'on ajoute dans un tableau de signes :
tableau de signe - Déterminer le signe d'une fonction à partir de son tableau de variations

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