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Approximation affine et tangente à la courbe en un point
Cours terminale ES

Savez-vous déterminer l'approximation affine de la tangente à une courbe en un point ? C'est dans ce cours que je vous explique comment faire. Vous verrez, c'est simple.

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Propriété

Approximation affine

Si f est dérivable en a, alors f(x) = (x - a)f'(a) + f(a) + (x - a)ε(x) avec approximation affine et tangente à la courbe en un point.

On appelle approximation affine de f :

f(x) = (x - a)f'(a) + f(a)

C'est quoi ce "ε" ?

Il se lit "Espilon", c'est une lettre grecque.
Cette propriété signifie que lorsque x est proche de a, alors une approximation de f(x) est (x - a)f'(a) + f(a).
La quantité (x - a) ε(x) représente en fait l'erreur commise lorsque l'on remplace f(x) par (x - a)f'(a) + f(a).

Introduisont à présent la notion de tangente à la courbe.

Soit f une fonction représentée par la courbe courbe d'une fonction.
Soit M0(x0 ; f(x0)) un point de courbe d'une fonction.
Soit M(x ; f(x)) un point de courbe d'une fonction.
Soit Δx la droite passant par M0 et M.

tangente de la courbe en un point


Quand x s'approche de x0, alors la droite Δx pivote autour du point M0 et le point M glisse sur la courbe courbe d'une fonction vers le point M0.

Quand x est très proche de x0, c'est-à-dire quand x tend vers x0, la droite Δx bascule alors vers une droite limite Δ qu'on appelle tangente à la courbe courbe d'une fonction au point M0.

Le coefficient directeur de la droite Δx est :

coefficient directeur de la droite


Alors le coefficient directeur de la droite Δ est :

coefficient directeur de la droite

Vous retiendrez la chose suivante :

Le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point M0 d'abscisse x0 est f '(x0).

On vient de parler de tangente à la courbe sans même l'avoir définit. Rattrapons-nous en la définissant maintenant !

Définition

Equation de la droite tangente à la courbe en un point

L'équation de la droite tangente à la courbe au point M0 d'abscisse x0 est :

y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)

Exemple

L'équation de la tangente en A(2 ; 4) de la fonction carrée est y = 4[(x - 2) + 1].
En effet :

y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 2 × 2(x - 2) + 4 = 4(x - 2) + 4 = 4[(x - 2) + 1]


Car la dérivée de la fonction carré est la fonction f '(x) = 2x.

exemple de tangente à la courbe

Il faut toujours que le point où l'on calcule la tangente appartienne à la courbe ?

Non, pas du tout. On calcule la tangente en un point désigné par son abscisse uniquement.

Approximation affine et tangente à la courbe en un point : 3/5 (2 avis)
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