Dérivation Télécharger en PDF Télécharger la fiche

Dérivée d'une fonction
Cours terminale ES

Voici un cours de maths sur la dérivée d'une fonction dans lequel je vous dis tout sur tout : nombre dérivée d'une fonction en un point, les formules de dérivées usuelles et leurs liens avec les variations d'une fonction et ses extremum.

Pour voir ce contenu,
inscris-toi gratuitement.

ou
Déjà inscrit ?

Nombre dérivée d'une fonction en a

Nous allons utiliser la notion de limite pour montrer la dérivabilité d'une fonction, ainsi que pour trouver son nombre dérivé.

Définition

Nombre dérivée d'une fonction en un point

Soit f une fonction définie en a et hensemble des réels.
La fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre D appartenant à ensemble des réels tel que :

nombre dérivée d'une fonction


Ce nombre D, s'il existe, est appelé nombre dérivé de f en a et on le note :

D = f '(a)

Remarque

Vous préférerez mieux la formule ainsi :

nombre dérivée

J'ai poser x = a + h.

J'explique tout de suite, avant même que vous n'aillez le temps de poser votre question.
Ce n'est en fait que une simple formule. Oui bon, une formule, que je vais décortiquer avec vous.
On veut savoir si la fonction f est dérivable en un point a et si oui, calculer sa dérivée en ce point. On va procéder de la façon suivante :

  • On calcule f(a) en remplaçant la variable de la fonction par a,

  • On trouve la différence f(x) - f(a),

  • Cette différence prend le dénominateur (x - a),
  • Enfin, on fait tendre le x de la quantité obtenue vers la valeur de a.

Voici un exemple.

Exemple

La fonction f(x) = x² est dérivable en 5 et son nombre dérivé vaut 10.
En effet :

nombre dérivée de la fonction carrée


On calcule la limite en 5 de la quantité obtenue :

limite fonction carrée


Donc, la fonction carrée est dérivable en 5 et f '(5) = 10.

Remarque importante

Si on vous demande si une fonctionne est dérivable en un point particulier, c'est comme ça qu'il faut faire. Si vous calculer simplement la dérivée (comme nous allons l'apprendre dans la suite su chapitre) et que vous dites qu'elle existe donc la fonction dérivable ce sera entièrement hors sujet.

Fonction dérivée

Nous avons vu que la notion de nombre dérivé en un point a faisait intervenir un réel f'(a). Il existe en effet une fonction dérivée que je vais vous définir maintenant.

Définition

Fonction dérivée

Soit f une fonction dérivable et définie sur un intervalle I.
On appelle fonction dérivée la fonction qui à chaque réel x de I associe son nombre dérivée.
On la note f ' :

définition fonction dérivée

Dérivées usuelles

Enfin, nous rentrons dans le vif du sujet. Nous allons pouvoir calculer des dérivées grâce aux dérivées usuelles du tableau suivant.

tableau des dérivées usuelles


Ce tableau est composées de formules directement prêtes à être utilisées. Il doit être connu par coeur.

Opérations sur les dérivées

Cette partie est obligatoire si nous voulons calculer des dérivées.

Propriétés

Opérations sur les dérivées

Soient u et v deux fonctions dérivables et définies sur un même intervalle I et k un réel.
opérations sur les dérivées

Résumons :

formules de dérivées

Nous avons à présent tous les outils nécessaires pour calculer des dérivées. Alors c'est parti !

Exemples

Voici un certains nombre d'exemples à bien comprendre. La dérivée de la fonction f définie sur ensemble des réels par f(x) = x + 2 est f'(x) = 1.
En effet :

f'(x) = (x1)' + (2)' = 1x0 + 0 = 1


La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. De plus, x = x1, donc on la dérivé de x est : x' = 1x0 = 1 car tout nombre à la puissance 0 vaut 1.

La dérivée de la fonction g définie sur ensemble des réels par g(x) = 2x² - x + 3 est g'(x) = 4x - 1.
En effet :

g'(x) = 2 × (x²)' - (x)' + (3)' = 2 × 2(x1) - 1 = 4x - 1


La dérivée de est ()' = 2x et donc la dérivée de 2calculs de dérivées est (2)' = 2 × 2x = 4x.

La dérivée de la fonction h définie sur ensemble des réels - {0} par est .
En effet, on applique d'abord la formule :

calculs de dérivées de quotient


On calcule les dérivées,

application des formules de dérivées


On développe tout ça.

opérations sur els dérivées


On calcule le numérateur en faisant attention de changer les signes de la seconde parenthèse à cause du signe -,

dérivées


Voilà.

Variations d'une fonction

Je vous avait dit que la dérivée d'une fonction allait nous aider à l'étude de ses variations, vous rappelez-vous ?

Théorèmes

Variations d'une fonction

Soit f une fonction dérivable et définie sur un intervalle I.
  • Si f '(x) = 0 pour tout x ∈ I, alors f est constante sur I,

  • Si f '(x) ≥ 0 pour tout x ∈ I, alors f est croissante sur I,

  • Si f '(x) > 0 pour tout x ∈ I, alors f est strictement croissante sur I,

  • Si f '(x) ≤ 0 pour tout x ∈ I, alorsf est décroissante sur I,

  • Si f '(x) < 0 pour tout x ∈ I, alors f est strictement décroissante sur I.

Remarque

Quand on vous demande d'étudier une fonction, vous étudierez ses variations à l'aide de sa dérivée.

L'exemple suivant est très important. Il résume tout jusqu'ici. Vous devez savoir le reproduire les yeux fermés !

Exemple

Nous allons étudier la fonction f définie par :

variations d'une fonction avec les dérivées

  • Domaine de définition : La fonction f est définie sur ensemble des réels - {-2}, car -2 est la valeur interdite.

  • Dérivée :

    calcul de la dérivée d'une fonction


  • Tableau de variations : Le dénominateur, étant un carré, est toujours positif. On va donc se préoccuper du signe de numérateur pour déterminer les variations de f.
    Les variations d'un polynôme du second degré, nous avons justement vu cela au chapitre précédent.
    Soit le polynôme P(x) = x² + 4x - 5. Calculons Δ = b² - 4ac :

    Δ = 4² - 4 × 1 × (-5) = 16 + 20 = 36 > 0

    Donc le polynôme P(x) admet deux racines distinctes :

    racines du polynôme

    racines du polynôme


    Le polynôme P(x) est du signe de a, donc positif si x ∈ ]-∞ ; -5[ U ]1 ; +∞[ et négatif si x ∈ ]-5 ; 1[.

    On peut à présent dresser le tableau de variation.

    La première ligne désigne les valeurs de x. Il ne faut pas oublier la valeur interdite.
    Dans la seconde, on met la dérivée et ses signes en fonction justement des valeurs de x.
    Dans la troisième et dernière ligne, on met les variations de la fonction f.
    On aura besoin des valeurs de f(-5) et f(1), calculons-les.

    valeurs d'une fonction


    Voici donc le fameux tableau de variations.

    tableau de variations d'une fonction

  • Représentation graphique : Vous savez faire.

    courbe d'une fonction


    Fin de l'étude.

Extremum d'une fonction

La dérivée d'une fonction nous donne aussi ses extremum.

Propriétés

Extremum d'une fonction


  • Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I.
    Si f admet un extremum local en x0, alors f '(x0) = 0.

  • Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x0 ∈ I.
    Si la fonction dérivée f '(x0) s'annule en x0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0.

Exemple

Soit la fonction f(x) = x² - 4x + 1 définie sur ensemble des réels.
Calculons sa dérivée.

f'(x) = (x²)' - 4(x)' + (1)' = 2x - 4


La dérivée s'annule pour :

f'(x) = 0 ⇔ 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2


Donc, la fonction f admet un extrema en x = 2.

Comment sait-on si se sont des minimum ou des maximum ?

Si la fonction est croissante puis décroissante, c'est le maximum.
Si la fonction est décroissante puis croissante, c'est le minimum.

Ici, la fonction est décroissante jusque x = 2 puis croissante. Donc, f(2) est le minimum de la fonction f car pour tout x réel f(x)f(2).
Cela se voit très bien sur la courbe de la fonction.

étude de fonctions

Remarque importante

Attention, si on a une dérivée nulle, on a pas forcément un extrema ! Le maximum et le minimum d'une fonction est unique.
Rappellez-vous : M est un maximum def si pour tout x : f(x) ≤ M et m est un minimum de f si pour tout x : f(x) ≥ m.

Dérivée d'une fonction : 3/5 (1 avis)
Donnez votre avis sur ce cours.

Identifie-toi pour voir plus de contenu.

Profite de l'intégralité du site en illimité : cours en ligne, exercices corrigés, quizz interactifs avec suivi scolaire, vidéos explicatives, annales de Bac et Brevet et bien plus. En savoir plus

Inscription gratuite
Connexion