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Définitions des intégrales
Cours terminale S

Une nouvelle notion de terminale S, celle d'intégrales. Dans ce cours, je vais vous définir ce qu'est une intégrale et vous donner une convention ainsi que la formule de la valeur moyenne d'une fonction.

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Intégrale

Voici la définition.

Définition

Intégrale

Soit f une fonction continue et positive. On considère la courbe de f dans un repère.
On appelle intégrale de a à b de f, l'aire du domaine situé sous la courbe, entre les droites d'équations x = a et x = b et l'axe des abscisses.
On la note :

définition intégrale

Cette aire est exprimée en unité d'aire.

Les nombres a et b sont les bornes de l'intégrale.
Le dx de l'intégrale signifie que la fonction est de variable x. Nous allons y revenir un peu plus tard.
En fait, c'est l'aire sous la courbe entre a et b et l'axe des abscisses, l'aire hachurée.

aire et intégrale

Convention d'intégrales

Petite convention sur les intégrales à savoir.

Convention

Aire algébrique

Si f est continue et négative sur [a; b], alors l'intégrale de a à b est égale à l'aire du domaine situé sous la courbe, entre les droites d'équations x = a et x = b et l'axe des abscisses, auquel on affecte un signe moins. On parlera alors d'aire algébrique.
Soit f une fonction continue sur [a; b], alors l'intégrale de a à b est égale à la somme des aires algébriques définies sur les intervalles où f(x) garde un signe constant.

Je vais vous expliquer car ça paraît difficile à comprendre alors que c'est très simple.
Prenons un exemple.

Exemple

Soit la fonction f(x) = sin x sur l'intervalle [-π ; π].
La fonction est périodique de période 2π, ça veut dire qu'elle se répète indéfiniment tous les 2π.
Regardez bien cette fonction.

exemple intégrale


On remarque bien que la fonction sur l'intervalle [-π ; 0] est égale à la fonction sur l'intervalle [0; π] à un signe moins près.
Si nous calculons l'aire sous cette courbe sur l'intervalle [-π ; π], ça donnera ceci sur le graphique :

exemple calcul d'intégrale


Les deux parties hachurées sont égales, oui, mais à un signe moins près.
Donc l'intégrale sera nulle.

exemple aire d'intégrale


C'est ce que veut dire cette convention. On parle d'aire algébrique et non pas d'aire géométrique.
Une intégrale, même si elle représente une aire, peut être nulle.

Valeur moyenne d'une fonction

Je vais vous apprendre à calculer la valeur moyenne d'une fonction. C'est comme pour des statistiques, mais avec des fonctions.

Définition

Valeur moyenne d'une fonction

Soit f une fonction continue, définie sur un intervalle [a; b].
La valeur moyenne de la fonction f sur [a; b] est égale à :

valeur moyenne d'une fonction

Pour l'instant je ne peux pas vous donner de vrai exemple vu que l'on a pas encore appris à calculer une intégrale.
Vous saurez le faire les yeux fermés bientôt.

Définitions des intégrales : 4/5 (3 avis)
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Depherick

Depherick il y a 726 jours.

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