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Intégration par partie
Cours terminale S

Un cours (qui n'est d'ailleurs plus au programme de terminale S) sur l'intégration par partie. Cette formule va vous permettre d'intégrer des fonctions un peu plus complexes.

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Parfois, le calcul intégral peut s'avérer difficile.
Je vais donc vous donner un théorème très puissant pour vous sortir de toutes les mauvaises situations.
C'est la partie la plus compliquée du chapitre. Donc soyez très attentif.

Théorème

Intégration par partie

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et u' et v' leurs dérivées supposées continues.
Alors, pour tout réels a et b de I :

formule d'intégration par partie

Pour bien la retenir, je vous donne la démonstration qui est à connaître.

Démonstration : On sait que (uv)'(t) = u'(t)v(t) + u(t)v'(t).
Intégrons l'égalité précédente.

démonstration intégration par partie


Or,

démonstration formule intégrale


Donc :



Ce qui est équivalent à :

formule d'intégration par partie


Cette formule magique va vous sortir des plus mauvaises situations.

Exemple

Calculer l'intégrale suivante :

exemple intégrale


On a un produit de deux fonctions. Utilisons donc la formule d'intégration par partie.
On va donc poser u(t) et v'(t), puis déduire u'(t) et v(t).
Posons donc :

exemple intégration par partie


On en déduit facilement :



Appliquons bêtement la formule.

exemple calcul d'intégrale par intégration par partie


Soit :

exemple intégrale calcul


Donc, l'aire sous la courbe représentative de la fonction entre les droites d'équations x = 1 et x = e et l'axe des abscisses est égale à .

Intégration par partie : 3/5 (3 avis)
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Charles.clerigues

Charles.clerigues il y a 942 jours.

Lorsque l'on change de variable, il faut remplacer les x par des t car sinon il est faux de mettre dt alors qu'il y a des x dans l'intégrale

Mictian

Mictian il y a 1228 jours.

BOnjour,
Je ne comprends pas pourquoi nous utilisons la formule de produit de deux fonctionne dérivée, alors qu'au départ de l'intégrale nous avons deux fonctions uv dans l'intégrale et non (uv)'.

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