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Géométrie analytique

Vecteurs et géométrie analytique
Correction exercice 3ème

On considère un repère orthonormé (O;I;J). L'unité est le centimètre.
  • Dans ce repère, placer les points A(1;2), B(-2;1) et C(-3;-2).

    Voici le repère dans lequel j'ai placé ces trois points. Rien de difficile pour le moment.

    repère orthonormé


  • Calculer les distances AB et BC.

    Il suffit d'appliquer la formule du cours.

    Calcul de la distance AB :

    AB = √(xB - xA)² + (yB - yA


    Application numérique :

    AB = √(-2 - 1)² + (1 - 2)² = √(-3)² + (-1)² = √9 + 1 = √10


    Calcul de la distance BC :

    BC = √(xC - xB)² + (yC - yB


    Application numérique :

    BC = √(-3 + 2)² + (-2 - 1)² = √(1)² + (-3)² = √1 + 9 = √10


    Remarque : On remarque que AB = BC. Cela se voit très bien dans la figure. En effet, pour aller de A à B, on descend d'une unité et on va à gauche de 3 unités et pour aller de B à C on descend de 3 unités et on va à gauche de 1 unité.


  • Calculer les coordonnées du vecteur exo de géométrie analytique.<

    Encore une fois, c'est une simple application de la formule.

    exo de géométrie analytique = (xC - xB; yC - yB) = (-3 - 2; -2 - 1) = (-5; -3)


  • Construire le point D, image du point A par la translation qui transforme B en C.

    En fait ici, il faut tout d'abord étudier la translation qui transforme B en C. En effet, comme je l'ai dit tout à l'heure, pour passer du point B au point C, on descend de 3 unités et on va à gauche de 1 unité. Eh bien là, c'est pareil, en partant de A. On descend donc de 3 unités puis 1 unité vers la gauche et on obtient le point D, image du point A par la translation qui transform B en C.

    repère orthonormé avec translation


  • Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.

    Pour montrer qu'un quadrilatère est un losange, il faut montrer que ses quatre côtés sont égaux.

    Or, on a déjà vu que AB = BC.

    De plus, le point D étant l'image du point A par la translation qui transforme B en C.

    Donc, forcément : AD = DC.

    Calculons la distance AD pour voir si elle est égale à AB (ou BC, c'est pareil). Les coordonnées de D sont (0; -1) d'après la figure.

    AD = √(xD - xA)² + (yD - yA


    Application numérique :

    AD = √(0 - 1)² + (-1 - 2)² = √(-1)² + (-3)² = √1 + 9 = √10


    On a bien :

    AB = BC = AD = DC = √10


    Donc, le quadrilatère ABCD est un losange.


Vecteurs et géométrie analytique : 4/5 (1 avis)
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