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Probabilités

Jeux de casino
Correction exercice première S

Un joueur joue à la roulette dans un casino et obtient un nombre aléatoire entre 0 et 36.

Il mise 5 euros.
S'il obtient un nombre pair, il récupère ses 5 euros misés et en gagne 5 autres.
S'il obtient un nombre impair, il perd ses 5 euros.
S'il obtient le 0, il gagne 170 euros.

On note X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.
  • Déterminer la loi de probabilité que suit X.

    Il y a trois cas différents :

    - Il y a 18 nombres pairs sur 36 (hors zéro) entre 1 et 36.
    Donc, la probabilité d'obtenir un nombre pair vaut 18/37 (Oui, 37 au dénominateur car avec le 0 il y a 37 nombres en tout).
    Le joueur a misé 5 euros et s'il obtient un nombre pair il en gagne 5 autres, donc : X = 5 dans ce cas si.
    On obtient : P(X = 5) = 18/37.

    - Il y a 18 nombres impairs sur 36 (hors zéro) entre 1 et 36.
    Donc, la probabilité d'obtenir un nombre pair vaut 18/37.
    Le joueur a misé 5 euros et s'il obtient un nombre impair il perd tout, donc : X = -5 dans ce cas là.
    On obtient : P(X = -5) = 18/37.

    - Si le joueur obtient le 0, il gagne 170 euros.
    La probabilité d'obtenir le 0 vaut 1/37.
    Le joueur a misé 5 euros, donc : X = 170 dans ce cas si.
    On obtient : P(X = 170) = 1/37.

    On obtient la loi de probabilité représentée dans le tableau suivant :

    xi -5 5 170
    P(X = xi) 18/37 18/37 1/37


  • Déterminer l'espérance de X, notée E(X).

    On sait que l'espérance d'une variable aléatoire X est le réel :

    espérance


    Donc ici :

    E(X) = -5 × 18 + 5 × 18 + 170 × 1
    37 37 37

    E(X) = 170
    37


  • Le jeu est-il favorable au joueur ?

    On remarque que E(X) > 0.
    Donc oui, le jeu est favorable au joueur !


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