Fonctions exponentielle

Etude de trois fonctions exponentielles
Exercices terminale S

Voici une étude de trois fonctions exponentielles. Cet exercice vous fait réviser, en plus de la fonction exponentielle, les notions de domaine de définition, variations, courbes, dérivées et bien d'autres points importants pour le bac.

Soit f la fonction définie sur [1; +∞[ par :

f(x) = ex - x²

  • En dérivant deux fois la fonction f, déterminer les variations de cette fonction sur son domaine de définition.
  • Déterminer le signe de f.
  • On considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par : g(x) = x e-x².
    On appelle Cg sa courbe représentative.
    Déterminer la limite de g en +∞.
  • Justifier la décidabilité de g sur [0; +∞[ avant de déterminer ses variations sur [0; +∞[ et dresser son tableau de variations.
  • Déterminer une équation de la tangente (T) à Cg au point d'abscisse 0.
  • Tracer la droite (T) et la courbe Cf.
  • On considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par : h(x) = x³ e-x².
    On appelle Ch sa courbe représentative.
    Déterminer la limite de h en +∞ en utilisant la partie A.
  • Déterminer les variations de h sur [0; +∞[ et dresser son tableau de variations.
  • Déterminer les positions relatives de Cg et Ch.
  • Tracer Cg et Ch.

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