Dérivation

Etude d'une fonction de degré 3
Correction exercice terminale ES

On considère la fonction f définie par : f(x) = 3x³ + 2x² - 2x + 1.
  • Calculer la dérivée de f.

    La fonction f est définie et dérivable sur ensemble des réels comme somme de fonction dérivable sur ensemble des réels et sa dérivée est :

    f '(x) = 9x² + 4x - 2


  • Etudier le signe de cette dérivée.

    Cherchons quand es - ce que la dérivée s'annule.

    f '(x) = 0 ⇔ 9x² + 4x - 2 = 0


    Il faut trouver les racines de ce polynôme.


    Δ = 16 - 4 × 9 × (-2) = 88


    Or, √Δ = √88 = √4 × 22 = 2√22.

    D'où les racines suivantes :

    racines


    Donc : La dérivée est positive lorsque x ∈ ]-∞; x2[, négative lorsque x ∈ ]x1; x2[ et positive lorsque ]x2; + ∞[.


  • En déduire le tableau de variations de la fonction f.

    tableau de variation


  • Tracer la courbe représentative de la fonction f.

    courbe représentative


  • Déterminer par calcul les coordonnées du point d'intersection de cette courbe avec l'axe des ordonnées.

    Qu'es-ce que cette question veut dire ?
    En fait, on cherche le/les points de la courbe représentative de la fonction f qui interceptent l'axe des ordonnées, c'est-à-dire dont leur abscisse est nulle.
    Notons A ce point.

    On sait donc déjà que xA = 0.
    Il faut donc trouver le réel y tel que : f(xA) = yA.

    f (xA = 0) = 3 × 0³3 + 2 × 0² - 2 × 0 + 1 = yA ⇔ 1 = yA


    Donc : les coordonnées du point d'intersection de cette courbe avec l'axe des ordonnées sont : A(0; 1).
    Cela se voit d'ailleurs sur la courbe précédente.


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