On pose :
-
Calculer I + J.
Juste un petit rappel sur la propriété fondamentale de la trigonométrie :
cos² x + sin² x = 1
Maintenant on peut y aller :
I + J = 
x² cos²x dx + x² sin²x dx
I + J =x²(cos² x + sin² x) dx
I + J = x² dx = [x³ ]π0 = π³ 3 3 -
Calculer I - J.
Un autre petit rappel sur la propriété fondamentale de la trigonométrie :
cos² x - sin² x = cos (2x)
On y va :
I - J = x² cos²x dx - x² sin²x dx
I - J =x²(cos² x - sin² x) dx
I - J =x² (cos (2x) dx
Maintenant, il faut faire une intégration par partie, dont je vous rappelle la formule :
C'est parti !
x² (cos (2x) dx = [x²sin (2x) ]π0 - x sin (2x) dx = - x sin (2x) dx2
= - ( [-x cos (2x) ]π0 - -cos (2x) dx ) 2 2
= π - 1 [ sin (2x) ]π0 = π 2 2 2 2 -
En déduire I et J.
Maintenant que l'on a (I + J) et (I - J), on peut aisément calculer I et J.
On a les équations suivantes :
I + J = π³ 3
I - J = π 2
En ajoutant la deuxième ligne à la première, on résout facilement ce système pour trouver :
I = π³ + π 6 4
J = π³ - π 6 4