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Produit scalaire dans l'espace
Cours terminale S

Un cours sur le produit scalaire dans l'espace, avec au programme : définition, propriétés, orthogonalité, équations cartésiennes et distances dans l'espace.

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1 - Définitions du produit scalaire dans l'espace

Nous attaquons maintenant la partie dans l'espace. Vous allez voir, c'est presque pareil, à un axe prés.

Définition

Produit scalaire dans l'espace

Soient vecteur u et vecteur v deux vecteurs de l'espace.
Le produit scalaire de vecteur u et vecteur v dans l'espace n'est rien d'autre que le produit scalaire de vecteur u et vecteur v dans le plan contenant ces deux vecteurs.

Prenons un point A de l'espace. Il existe donc deux points, B et C, tels que : vecteur u = et vecteur v = .
Il existe forcément un plans qui contient les points A, B et C puisqu'un plan est formé par trois points distincts.
Le produit scalaire de vecteur u et vecteur v dans l'espace est donc le produit scalaire de vecteur u et vecteur v dans le plan contenant ces deux vecteurs.

Pour les coordonnées des vecteurs, c'est pareil que dans le plan, à ça prés.

Définition

Coordonnées et produit scalaire dans l'espace

Soient vecteur u(x; y; z) et vecteur v(x'; y'; z') deux vecteurs de l'espace. On a alors : vecteur u.vecteur v = xx' + yy' + zz'

Exemple

Soient les vecteurs vecteur u(3; -1; 0) et vecteur v(-2; 1; 5) dans l'espace.

Le produit scalaire de ces deux vecteurs est :

vecteur u.vecteur v = 3 × (-2) + (-1) × 1 + 0 × 5 = -6 - 1 + 0 = -7

Et si ce produit scalaire est nul, on a aussi des vecteurs orthogonaux dans l'espace ?

Alors, oui. J'y reviens juste après ça. Ne bougez pas.

2 - Propriétés du produit scalaire dans l'espace

Les propriétés du produit scalaires dans l'espace sont les mêmes que celles dans le plan.

3 - Orthogonalité et produit scalaire dans l'espace

Nous allons maintenant parler d'orthogonalité dans l'espace.

Propriété

Orthogonalité et produit scalaire dans l'espace

Soient vecteur u et vecteur v deux vecteurs de l'espace.
Les vecteurs vecteur u et vecteur v sont orthogonaux si vecteur u.vecteur v = 0.

Soit un vecteur vecteur normal de l'espace et un point A.
L'ensemble des points M de l'espace vérifiant .vecteur normal = 0 est un plan passant par A et de vecteurs normal vecteur normal.

Deux plans et ' de vecteurs normaux respectifs vecteur normal et vecteur normal' sont perpendiculaires si vecteur normal.vecteur normal' = 0.

Si on a une droite, de vecteur directeur vecteur u et un plan , alors le vecteur vecteur u est normal à ce plan s'il est perpendiculaire à toutes les droites contenues dans le plan.

Exemple

Les plans et ' de vecteurs normaux respectifs vecteur normal(-5;0;2) et vecteur normal'(-2; 6; -5) sont perpendiculaires.

En effet, calculons le produit scalaire de vecteur normal et vecteur normal'.

vecteur normal.vecteur normal' = (-5) × (-2) + 0 × 6 + 2 × (-5) = 10 + 0 - 10 = 0


Donc, les vecteurs vecteur normal et vecteur normal' sont orthogonaux, et donc les plan et ' sont perpendiculaires.

Exemple

Déterminer une équation cartésienne du plan passant par A(2; 3; 1) et de vecteur normal vecteur normal(-2; 1; 3).

Pour tout point M(x; y; z) de l'espace,

orthogonalité et produit scalaire dans l'espace


Donc, l'équation cartésienne du plan passant par A(2; 3; 1) et de vecteur normal vecteur normal(-2; 1; 3) est : -2x + y + 3z - 2 = 0.

4 - Applications du produit scalaire dans l'espace

a - Equation cartésienne dans l'espace

On va définir l'équation cartésienne d'un plan.

Définition

Equation cartésienne dans l'espace

Tout plan de l'espace, de vecteur normal vecteur normal(a; b; c) admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.
Réciproquement, toute équations de la forme ax + by + cz + d = 0 est l'équation d'un plan de l'espace de vecteur normal vecteur normal(a; b; c).

Exemple

Le vecteur directeur du plan, d'équation cartésienne 3x - 4z = 2, est le vecteur vecteur normal(3; 0; -4).

b - Distance d'un point à un plan

On va parler maintenant de distance d'un point à un plan.

Propriété

Distance d'un point à un plan

Soient le plan d'équation ax + by + cz + d = 0 et A(xA; yA; zA) un point de l'espace.
La distance du point A au plan est la distance AH, avec H le projeté orthogonal de A sur .
On a :

distance d'un point à un plan dans l'espace

C'est la même formule que dans le plan, en rajoutant un axe, l'axe z.

Exemple

Soient le pan d'équation -x + 2y + 5z + 2 = 0 et A(5; 2; -1) un point de l'espace.

La distance de A à est donc la distance AH, avec H le projeté orthogonal de A sur .

calcul de la distance d'un point à un plan dans l'espace

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