Nombres complexes

Déterminer la forme exponentielle d'un nombre complexe
Cours terminale S

Un cours méthode pour vous aider à déterminer la forme exponentielle d'un nombre complexe. Avant tout, il faut connaître la propriété du cours évidemment.

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Nous allons écrire sous la forme exponentielle le nombre complexe suivant :

z1 = 1 + i3
2 + √6 + i(√6 - 2)

Utilisation de l'expression conjuguée

Il faut d'abord commencer par utiliser l'expression conjuguée dans le but d'enlever le i du dénominateur.

z1 = 1 + i3 = (1 + i3)(√2 + √6 - i(√6 - 2))
2 + √6 + i(√6 - 2) (√2 + √6 + i(√6 - 2))(√2 + √6 - i(√6 - 2))

Développement de l'expression complexe

Développons à présent le numérateur et le dénominateur.

z1 = 2 + √6 + √3(√6 - √2) + i[(√3(√2 + √6) - (√6 - √2)]
16

Ce qui fait, après beaucoup de calculs sans faire d'erreur (enfin, on essaie...) :

z1 = 2 + i 2
4 4

Factoriation

Et maintenant, on va factoriser ! Oui, mais par quoi à votre avis ? Par 1/2, oui ! On trouve :

z1 = 1 ( 2 + i 2 )
2 2 2

Conclusion : détermination de l'expression exponentielle

Un petit rappel s'impose.

Définition

Notation exponentielle d'un nombre complexe

Soit f la fonction de dans ensemble des nombres complexes définie par :

notation exponentielle d'un nombre cmplexe

Cette fonction vérifie la propriété suivante : pour tous réels θ et θ', f(θ + θ') = f(θ)f(θ'). Cela se vérifie aisément.

Admettons que la fonction f soit dérivable. Sa dérivée est : f '(x) = -sin θ + icos θ et donc f'(0) = i.
Par analogie avec la fonction exponentielle, on écrit alors :

e = cos θ + i sin θ


Soit z un nombre complexe non nul d'argument θ et de module r (arg(z) = θ et |z| = r), alors on appelle forme exponentielle de z :

z = r(cos θ + i sin θ) = re

Il faut donc bien connaître ses formules trigonométrique pour déterminer l'expression exponentielle, qui est :

z1 = 1 eiπ/4
2

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