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Transformations géométriques et nombres complexes
Cours terminale S

Il existe trois sortes de transformation, vous les connaissez : translation, homothétie et rotation. Mais avec les nombres complexes, ça donne quoi ? Vous ne devez absolument pas louper cette partie, c'est important pour le Bac.

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Nous connaissons les différentes transformations géométriques déjà. Pourquoi ne pas les traduire en complexe ?

Propriétés

Transformations géométriques et nombres complexes

Soit un point M du plan, d'affixe z.
  • Translation : Soit un vecteur d'affixe a.
    Alors, l'image de M par la translation de vecteur est un point M' d'affixe z' = z + a.
    La translation de vecteur s'écrit : z' = z + a

  • Homothétie : Soient O un point du plan, d'affixe ω, et k un réel non nul.
    Alors, l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport k est un point M' d'affixe z' = k(z - ω) + ω.
    L'homothétie de centre O(ω) et de rapport k s'écrit : z' - ω = k(z - ω)

  • Rotation : Soient O un point du plan, d'affixe ω, et θ un réel.
    Alors, l'image de M par la rotation de centre O et d'angle θ est un point M' d'affixe z' = e(z - ω) + ω.
    La rotation de centre O et d'angle θ s'écrit : z' - ω = e(z - ω).

En connaissant la définition de chacune de ces transformation, cela se comprend parfaitement.

Par exemple, pour l'homothétie.
Soit h une homothétie de centre O, d'affixe ω et de rapport k réel non nul.
Soit M', d'affixe z', l'image d'un point M, d'affixe z, par h. Alors, par définition, on a : transformations géométriques.
Traduisons cette égalité en complexe et on aura fini pour aujourd'hui :

exemple de transformations géométriques et nombres complexes

Je vous laisse le soin de le refaire pour la translation et la rotation.
Faites-le, c'est important. D'ailleurs, vous n'avez pas vraiment le choix vu que ça peut vous être demandé vers la fin du mois de Juin. Je dis ça, je dis rien.

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