Dans l'espace, on donne les points A(3; 2; -1) et H(1; -1; 3).
-
Calculer AH.
On applique tout simplement la formule du cours.
AH = √(xH - xA)² + (yH - yA)² + (zH - zA)² = √29 -
Déterminer une équation du plan P passant par H et orthogonal à la droite (AH).
Soit M(x; y; z) un point de l'espace.
Ce point M appartient au plan recherché si, et seulement si, les vecteurs
et 
sont orthogonaux, c'est-à-dire si leur produit scalaire est nul.
M ∈ (P) ⇔ . = 0
M ∈ (P) ⇔ -2(x - 1) - 3(y +1) + 4(z - 3) = 0
M ∈ (P) ⇔ -2x - 3y + 4z - 13 = 0
Donc, l'équation du plan P passant par H et orthogonal à la droite (AH). est :
-2x - 3y + 4z - 13 = 0 -
On considère les points B(-6; 1; 1), C(4; -3; 3) et D(-1; -5; -1).
a. Démontrer que les points B, C et D appartiennent au plan P.
b. Démontrer que l'aire du triangle BCD est égale à 5√29.
c. Démontrer que le volume du tétraèdre ABCD est égal à 145/3.a. Démontrer que les points B, C et D appartiennent au plan P.
Les coordonnées des points B, C et D vérifient l'équation du plan précédent (-2x - 3y + 4z - 13 = 0), donc ils appartiennent à ce plan.
b. Démontrer que l'aire du triangle BCD est égale à 5√29.
Soit K(a; b; c) le projeté orthogonal de C sur (BD).
Par définition, les vecteurs
et 
sont orthogonaux, donc leur produit scalaire est nul.
Cela se traduit comme suit :
5a - 6b - 2c - 32 = 0
De plus, les vecteurs
et sont colinéaires.
Donc, si on applique la définition de la colinéarité de deux vecteurs, il existe un réel λ tel que :
= λ
Soit :
a + 6 = 5λ
b - 1 = -6λ
c - 1 = -2λ
Si on remplace tout ça dans l'équation précedente, on trouve facilement une équation avec une seule inconnue, &lambda, de solution :
λ = 14 13
Maintenant, les coordonnées de K sont faciles à déterminer :
K(- 8 ; - 71 ; - 15 ) 13 13 13
L'aire du triangle CBD est donc :
CBD = CK × BD 2
Or :
CK = 580 13
Et :
BD = √65
D'où :
CBD = 5√29
c. Démontrer que le volume du tétraèdre ABCD est égal à 145/3.
Vous connaissez tous la formule du volume d'un tétraèdre ?
VABCD = CBD × AH= 145 3 3