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Produit scalaire dans l'espace

Equation cartésienne de plans
Correction exercice terminale S

  • Déterminer une équation du plan P passant par A(-1; 2; 4), B(3; 0; 5) et C(-8; 6; 2).

    Les vecteurs vecteur AB(4; -2; 1) et vecteur AC(-7; 4; -2) ne sont pas colinéaire, cela se voit facilement.

    Soit vecteur normal n(a; b; c) un vecteur normal au plan (ABC) et essayons de déterminer ses coordonnées possibles.

    vecteur AB.vecteur normal n = 0 et vecteur AC.vecteur normal n = 0 ⇔ 4a - 2b + c = 0 et -7a + 4b - 2c = 0


    Prenons c = 1.
    On obtient le vecteur normal au plan (ABC) suivant :

    vecteur normal n(0; 0,5; 1).


    Soit M(x; y; z) un point de l'espace.

    M(x; y; z) ∈ (ABC) ⇔ vecteur AM.vecteur normal n = 0

    1 (y - 2) + (z - 4) = 0
    2


    y + 2z - 10 = 0


  • Déterminer une équation du plan P' contenant le point D(1; 1; 2) et perpendiculaire au plan (ABC).

    Notons vecteur normal n'(a'; b'; c') un veceur normal au plan P'.

    On a vecteur normal n.vecteur normal n' = 0.

    Donc :

    1 y' + c' = 0
    2


    On peut prendre vecteur normal n'(1; 2; -1).

    P' a une équation du type :

    x + 2y - z + d = 0.


    Comme D(1; 1; 2) est un point de P', on a :

    d = -1


    D'où l'équation de P' suivante :

    x + 2y - z - 1 = 0


Equation cartésienne de plans - Exercices de maths terminale S - Equation cartésienne de plans
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