Résoudre, dans l'ensemble des complexe, les équations suivantes :
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(5 + 2i)(z - 2i) = (3 + i +z)(2 - i)
Développons tout ça.
(5 + 2i)(z - 2i) = (3 + i +z)(2 - i)
⇔ 5z - 10i + 2iz + 4 = 6 - 3i + 2i + 1 + 2z - zi
⇔ 3z + 3iz = 3 + 9i
⇔ z + iz = 1 + 3i
Essayons d'isoler le z en factorisant.
⇔ z + iz = 1 + 3i
⇔ z (1 + i) = 1 + 3i
⇔ z = 1 + 3i 1 + i
Uitlisons l'expression conjuguée.
⇔ z = (1 + 3i)(1 - i) 2
On développe tout ça et on trouve finalement :
z = 2 + i -
(z - 1 + 2i)(iz + 2i - 3) = 0
N'oubliez pas : un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
(z - 1 + 2i)(iz + 2i - 3) = 0
⇔ z - 1 + 2i = 0 OU iz + 2i - 3 = 0
Conclusion :
z = 1 - 2i OU z = -2 - 3i -
z² = -3 + 4i
Ici, nous allons procéder différemment.
Posons : z = x + iy, avec x et y réels.
Notre équation de départ devient :
(x + iy)² = -3 + 4i
⇔ x² - y² + 2xyi = -3 + 4i
On sait que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties imaginaires ET réelles sont égales.
Donc :
(x + iy)² = -3 + 4i
⇔ x² - y² = - 3 ET 2xy = 4
⇔ x² - y² = - 3 ET xy = 2
Si xy = 2, alors (xy)² = x² y² = 4.
Or, d'après la première équation, y² = x² + 3.
Donc, en remplaçant, ça donne :
x²(x²+ 3) = 4 ⇔ x4 + 3x² - 4 = 0
Il faut donc résoudre cette équation du 4ème degré.
On pose cette fois-ci X = x².
L'équation à résoudre devient X² + 3X - 4 = 0.
Elle admet deux solutions distinctes : X = 1 et X = -4.
Mais, comme X = x², on a les solutions : x = 1 ou x = -1 (la solution X = -4 n'a pas été retenue car elle était négative et un carré est toujours positif).
En remplaçant dans xy = 2, on en conclut que si l'équation possède des solutions alors elles appartiennent à :
{(1; 2), (-1; -2)}
On vérifie alors facilement que les solutions de l'équation de départ sont :
z = 1 + 2i
z = -1 - 2i -
(z² + 2)(z² + 1) = 0
Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
(z - 1 + 2i)(iz + 2i - 3) = 0
⇔ z² + 2 = 0 OU z² + 1 = 0
⇔ z = i√2 ou z = -i√2 OU z = i ou z = -i -
z² - 2z cos θ + 1 = 0, avec θ ∈ ]0; π[.
C'est une équation du second degré à résoudre.
Son discriminant est :
Δ = 4cos²θ - 4 = 4(cos²θ - 1) = -4sin²θ = (2i sin θ)²
Vous l'avez compris, à cause du i, il est strictement négatif.
Donc, l'équation admet deux solutions complexes, les voici :
z1 = 2cos θ + 2i sin θ = cos θ + i sin θ = eiθ 2
z2 = z1 = cos θ - i sin θ = e-iθ
Conclusion, les deux solutions sont :
z1 = eiθ
z2 = e-iθ